函数概念的演化
集合 具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集 构成集合的事物或对象称作元素 集合具有无序性，互异性 和 确定性 映射 \(X\)，\(Y\)是两个给定的集合，若按照某种规则\(f\)，使得对集合\(X\)中的每一个元素\(x\)，都可以找到集合\(Y\)中唯一确定的元素\(y\)与之对应，则称\(f\)是集合\(X\)到集合\(Y\)的一个映射，记为: $$ \begin{aligned} f: &X \rightarrow Y \newline &x \mapsto y=f(x) \end{aligned} $$ \(y\)称为映射f之下\(x\)的像 集合\(X\)称为映射\(f\)的定义域 在映射\(f\)之下，\(X\)中元素\(x\)的像\(y\)的全体称为映射的值域 函数 当\(X\)和\(Y\)是非空的数集，则映射\(f: X \rightarrow Y \)称为函数 上面的几个数学定义是高中初始阶段就需要学习的基本概念，一般先给学生们介绍集合及集合间的的关系，接着便是映射和函数，印象中这是十分自然的事情。然而最近在看书的过程中偶然发现，函数这个词最早是由莱布尼茨于1673年提出1，而集合论则要等到200多年后的1874年，康托尔发表论文"关于所有实代数数集的一个性质"2才正式出现。 那么在集合论出现之前的函数定义是什么样子的？ 函数是如何一步一步的发展成现在的定义的呢？ 函数概念的演化 模糊的概念 历史上早期，有许多数学家，物理学家，天文学家等都用到了与函数类似的概念，只不过没有明确的给出一个定义。 在1638年伽利略研究同心圆的问题，有两个圆A和B，大圆A的周长是小圆B的两倍，在圆A上任取一点P，过OP做B的割线, 从而将A与B上的每个点对应了起来；同理在B上取一点Q, 用OQ及延长线来割圆A，也可以明确找到A上对应的点。虽然圆A的周长是圆B的两倍，但他们有相同数量的点。伽利略还发现了在正整数和其平方之间标准的一一对应的关系， 这(用现代术语来说)给出了自然数集合N与其真子集的双射。1 几乎与此同时，1637年笛卡尔在《几何学》中将代数引入了几何学当中。书中提到3: 这些曲线上的所有的点，必定跟直线上的所有的点具有一种确定的关系，而且这种关系必须用单个的方程来表示。 … 用这种方法，我们总能找到足以决定曲线上所有点的一个方程 这实质上是在构造曲线的过程中引入了函数的思想，只是当时尚未意识到需要提炼出明确的概念定义。 1673年, 莱布尼茨在一封信中使用了函数这个词，来表示随曲线变化而改变的量, 例如曲线上一点的坐标，曲线的斜率等14。 明确的定义 1694年9月2日，约翰.伯努利在写给莱布尼茨的信中，这样描述函数1: 由变量和常量以某种方式组合形成的另一个量 1698年, 约翰.伯努利在一篇关于等周长的论文中写下了"坐标函数"5，当时约翰.伯努利正在研究变分法问题，函数作为解决方案出现。到1718年，他将函数描述为6: 任何由变量和一些常量组成的表达式...