集合
具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集

  • 构成集合的事物或对象称作元素
  • 集合具有无序性，互异性 和 确定性

映射
\(X\)，\(Y\)是两个给定的集合，若按照某种规则\(f\)，使得对集合\(X\)中的每一个元素\(x\)，都可以找到集合\(Y\)中唯一确定的元素\(y\)与之对应，则称\(f\)是集合\(X\)到集合\(Y\)的一个映射，记为:
$$ \begin{aligned} f: &X \rightarrow Y \newline &x \mapsto y=f(x) \end{aligned} $$

  • \(y\)称为映射f之下\(x\)的像
  • 集合\(X\)称为映射\(f\)的定义域
  • 在映射\(f\)之下，\(X\)中元素\(x\)的像\(y\)的全体称为映射的值域

函数
当\(X\)和\(Y\)是非空的数集，则映射\(f: X \rightarrow Y \)称为函数

  上面的几个数学定义是高中初始阶段就需要学习的基本概念，一般先给学生们介绍集合及集合间的的关系，接着便是映射和函数，印象中这是十分自然的事情。然而最近在看书的过程中偶然发现，函数这个词最早是由莱布尼茨于1673年提出1，而集合论则要等到200多年后的1874年，康托尔发表论文"关于所有实代数数集的一个性质"2才正式出现。
  那么在集合论出现之前的函数定义是什么样子的？ 函数是如何一步一步的发展成现在的定义的呢？

函数概念的演化

模糊的概念

  历史上早期，有许多数学家，物理学家，天文学家等都用到了与函数类似的概念，只不过没有明确的给出一个定义。
  在1638年伽利略研究同心圆的问题，有两个圆A和B，大圆A的周长是小圆B的两倍，在圆A上任取一点P，过OP做B的割线, 从而将A与B上的每个点对应了起来；同理在B上取一点Q, 用OQ及延长线来割圆A，也可以明确找到A上对应的点。虽然圆A的周长是圆B的两倍，但他们有相同数量的点。伽利略还发现了在正整数和其平方之间标准的一一对应的关系， 这(用现代术语来说)给出了自然数集合N与其真子集的双射。1

  几乎与此同时，1637年笛卡尔在《几何学》中将代数引入了几何学当中。书中提到3:

这些曲线上的所有的点，必定跟直线上的所有的点具有一种确定的关系，而且这种关系必须用单个的方程来表示。
…
用这种方法，我们总能找到足以决定曲线上所有点的一个方程

  这实质上是在构造曲线的过程中引入了函数的思想，只是当时尚未意识到需要提炼出明确的概念定义。

  1673年, 莱布尼茨在一封信中使用了函数这个词，来表示随曲线变化而改变的量, 例如曲线上一点的坐标，曲线的斜率等14。

明确的定义

  1694年9月2日，约翰.伯努利在写给莱布尼茨的信中，这样描述函数1:

由变量和常量以某种方式组合形成的另一个量

  1698年, 约翰.伯努利在一篇关于等周长的论文中写下了"坐标函数"5，当时约翰.伯努利正在研究变分法问题，函数作为解决方案出现。到1718年，他将函数描述为6:

任何由变量和一些常量组成的表达式

  至此，约翰.伯努利对函数进行了明确的定义: 把变量\(x\)和常量按任何方式构成的量叫做"\(x\)的函数", 表示为\(y_x\)。

逐步演化

  1734年，欧拉写出了一直沿用至今的函数符号:\(f(x)\)7。
  1748年，欧拉的《无穷分析引论》出版，本书中欧拉给出函数的定义8:

一个变量的函数是由变量和数字或常量以任何方式组成的解析表达式

  但是欧拉在书中并未给出解析表达式的明确定义，但基本可理解为通常的四则运算，平方，开方等。欧拉进一步将函数分为不同的类型，如代数函数和超越函数。这本书的意义是非凡的，改变了数学家们看待一些熟悉概念的方式1:

在欧拉之前，三角量正弦、余弦、正切等被认为是与圆相连的线，而不是函数。
…
是欧拉提出了泛函的观点。

  1755年，欧拉出版了另一本影响深远书《微积分基础》，在这本书中，他以一种完全通用的方式定义了函数，可以说是一个真正现代的函数定义:

如果一些变量依赖于另一些变量，后者变化时，前面的这些变量也随之变化，那么前面的变量称为后者的函数。该定义适用非常广泛，包含一个变量可以由另一个变量确定的所有方式。因此若\(x\)为一个变量，那么以任何方式依赖于\(x\)或由它决定的所有的变量都可以称为x的函数。

  1821年，柯西在《分析教程》中，提出了一个定义，使得变量之间的依赖关系成为函数的核心1:

一些变量，给定其中某一变量的值，就可以推出其他变量的值，则认为这些变量可以由其中某一变量来表达，那么称这此最初变化的变量为自变量，可以用自变量表达的量称为该自变量的函数。

  1822年，傅立叶在《热的分析理论》中给出了定义1:

通常，函数\(f(x)\)表示一系列任意的值或坐标，给定无数个横坐标\(x\)的值，就可以得到相同数量的纵坐标\(f(x)\)的值。所有的这些值无论是正，负还是未知，我们无须假设这些坐标服从某种规律，他们可以是相互独立的。

  1837年，狄利克雷定义了一个连续函数9:

每个\(x\)对应一个唯一的有限\(y\)，当\(x\)在区间a到b上连续变化时，若\(y=f(x)\)也连续变化，则\(y\)称为\(x\)在此区间上的连续函数

  1874年，康托尔创立了集合论。
  随着集合论在数学中占据重要的地位之后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）10。
  1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素\(x\)，总有集合Ｎ确定的元素\(y\)与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为\(y=f(x)\)。元素\(x\)称为自变量，元素\(y\)称为因变量。
  至此，函数从最初模糊的概念，经过几百年的发展，终于成为了我们在中学阶段的教科书中看到的样子。可以看到，函数的定义并非一蹴而就，由某位天才灵感一现而发明，而是随着人类在各种不同学科的发展下，在实践中提出概念，逐步升级，演进的一个过程。

后记与感悟

  搜了一下当年的高中教科书(2004年版人教版数学必修1)，其实在第一章第二节的课后阅读与思考便有介绍函数概念的发展历程，那时初学，应该是没能意识到这件事的趣味与意义，没想到时隔将近二十年之后再次读到，恍然觉得十分有趣。尤其是最后几句，让人颇有感触11:

函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。

  的确，无论是做研究还是工程技术，在学习知识，掌握技能，产出结果的过程中，我们通常都无法一步到位，一次性做出满意的结果，而是不断的尝试，学习，摸索着前进，将最终的成果变得越来越完善，越来越令人满意。

引用

  1. O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “The function concept”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews ↩︎

  2. Cantor, Georg (1874), “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885 ↩︎

  3. 笛卡尔 (2008), “笛卡儿几何”, ISBN 9787301095508 ↩︎

  4. Eves dates Leibniz’s first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to “as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on”[Eves, Howard (1990). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (3rd ed.). Dover. ISBN 0-486-69609-X, p. 234] ↩︎

  5. A P Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, Arch. History Exact Sci. 16 (1) (1976/77), 37-85 ↩︎

  6. Eves, Howard (1990). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (3rd ed.). Dover. ISBN 0-486-69609-X. p. 234 ↩︎

  7. Florian Cajori (1929). A History of Mathematical Notations, reprinted by Dover. ISBN 9780486677668. volume II p. 268 ↩︎

  8. 欧拉 (2019), “无穷分析引论”，ISBN 9787560364445 ↩︎

  9. Medvedev, Fyodor A. (1991). Scenes from the History of Real Functions. Birkhauser. ISBN 9780817625726. pp. 60–61. ↩︎

  10. 函数概念的发展与比较，中国数学网 ↩︎

  11. 数学1 必修 A版, 人民教育出版社，2004，ISBN 7-107-17705-2. p. 31 ↩︎